、
である。
また、
（第 i 成分以外は、0）とすると、
は、R の両側イデアルである。
可換環 R の二つのイデアル I,J が I+J = R を満たすとき、I は J と互いに素であるという。すなわち次の同値条件を満たすことである。
においては、
と 
が互いに素な事と、
すなわち、m と n の最大公約数が 1 であることは同値である。実際、x+y = 1 となる 
が存在するということは、am+bn = 1 となる 
が存在することであり、このことは、
と同値であるからである。
「3 で割って 1 余り、10 で割って 3 余り、7 では割り切れ、13 で割ると 11 余るような数はあるだろうか。またあるならばそれをすべて求めることが出来るか。」という種類の問題は、古くからいろいろと考えられていたようで孫子の「兵法」に軍隊の編成の問題から議論されていることなどから、この問題を取り扱った次の定理は中国剰余定理 (Chinise Remainer's Theorem) と呼ばれているとのことである。
n = 2 のとき 仮定より、
となる 
がある。そこで、
とおくと、
で、
となる。
も同様にして得る。
n > 2 のとき まず、各 i について、次の性質を満たす 
が存在することを示す。
記号を見やすくするため、i = 1 のときを考える。
については、
だから、
となる、
、
がある。すべてを掛け合わせると、
だから、
とおくと、
である。とくに、
すなわち、二つのイデアル 
、
は互いに素であることが分かる。上記 n=2 の時は、既に示してあるから、
で、
を満たすものが存在することが分かる。ところが、
に対して、
であるから、
でもある。これで最初の主張が示された。
今、各 i について、
をとり、
とおくと、
となり、求めるものが得られた。
