R を環とすると、加法に関しては、加群だから、加法に関する部分群 I は、すべて、正規部分群である。従って、
は加群となる。どのような条件のもとで、
が環になるであろうか。
だから、積が自然に定義できるためには、
であることが必要である。逆に、上の条件を満たせば、積が定義できる。ここで、x = 0 または、y = 0 とおくことによって、
、
を満たすことが必要であることが分かる。
A、B を環 R の部分集合とするとき、これらの和および積を次のように定義する。特に、積の定義に注意。
.
.
この節の始めに見たように、I を環 R の両側イデアルで 
とすると、
は、
と、和と積を定義する事により、
は環になる。この環を剰余環 (quotient ring) と言う。
のとき、Ra [aR] は、左イデアル [右イデアル] になるが、これを単項 (principal) 左 [右] イデアルと言う。R が可換環の時は、Ra = aR を 
ともかく。
、R は、R の両側イデアルであるが、これらを、R の自明なイデアルという。
I = R とすると、
より、
。逆に、
とする。このとき、
とすと、
従って、
。よって、I = R。
(
) I を 0 とは異なる R の左イデアルとする。
とすると、
。従って、上の注より I = R。
(
) 
とすると、
より、Ra は 0 でない左イデアルだから、仮定より 
。従って、R の元 b で、ba = 1 となるものがある。特に、
だから、同様にして、R = Rb。特に、R の元 c で、cb = 1 となるものがある。すると、
だから、ab = ba = 1。よって、R の 0 以外の元は、すべて、単元である。従って、R は斜体である。
順序集合 X が、任意の空でない部分集合に最小元を持つとき、整列集合 (well-ordered set) という。
R をユークリッド整域、I を R の イデアルとする。I = 0 ならば、明らかに、単項イデアルだから、
とする。
の最小元を、
とする。ここで、
とすると、b = aq + r、
となる、
がある。
だから、a の取り方から、r = 0 を得、
。b は任意だから、I = Ra、すなわち、すべてのイデアルは単項である。
