R を整域、
とする。
となる 
がある。このとき、
と書く。
となる 
がある。このとき、
と書き同伴という。
が正則元でなくかつ、
又は、
の時、p を素元という。
p = ab とする。仮定より、
または 
。
とする。
だから、
で p = au、
と書ける。
で、R は整域だから 
。
p を素数とする。
とすると、a または 
のときは明らか。
ab = pc、
、
、
を素元分解とする。
素元分解の一意性より 
又は 
。そこで、
とすると、
。
とすると、
。
この命題は、ある環 R が一意分解整域ではないことを示すためにも用いられる。すなわち、素元ではあるが、それで生成されたイデアルが、素イデアルではない元の存在が示されればそれで良い。
命題 
により 
、また、命題 により 
も示してあるから、
を示せばよい。
とすると、p = qa と書ける。仮定より、q が単元か、a が単元。それぞれ、
または、
となる。従って、
は極大イデアルである。
R を単項イデアル整域とし、
とする。このとき、
だから 
を含む極大イデアル 
が存在する。命題 より 
は素元である。
より、
と表すことが出来、
より、
は、
を真に含む。
ならば素元 
が存在して、
、(
) と書くことが出来る。この様にして順に 
を取っていくとき、正則元でない限りにおいて、真に増加する列
がつくれる。
は R のイデアルだから、
と書ける。従って、ある i について、
となるから、
となり真に増加することはない。よってある r について 
は正則元、すなわち、
は素元で、
。
一意性：
、
とし、r に関する帰納法を用いる。
で、
は素イデアルだから、
となる i がある。しかし、
で、どちらも極大イデアルであるから、
である。番号を付け替え、
、
とすると、
を得るから、
。帰納法により、r = s かつ、番号の付け替えにより、
となることが分かる。
これにより、ユークリッド整域は、単項イデアル整域であり、単項イデアル整域は、一意分解整域であることが分かった。しかし、これだけでは、
や、
が一意分解整域かどうかは分からない。
