ここでは、R を一意分解整域、
を商体とする。
の最大公約元であるとは、以下の２条件を満たすことである。
, 
。
, 
ならば、
。
の最小公倍元であるとは、以下の２条件を満たすことである。
, 
。
, 
ならば、
。
の最大公約元が 1 であるとき、
は、互いに素 (coprime) であるという。
が互いに素である時、
を原始多項式 (primitive polynomial) という。
練習問題にもあるように、R が一意分解整域ならば最大公約元、最小公倍元は存在する。
、
。m を 
の最小公倍元、
、d を 
の最大公約元、
とする。
は互いに素である。さらに、
ここで、
、
とおけばよい。
、
、
は、R 上の原始多項式、
、
、a と b、
と 
は互いに素な R の元とする。
だから、それぞれの係数の最大公約元を考えると、最大公約元は、正則元倍をのぞいて、一意に決まり、
、
はともに原始多項式だから、
となる 
がある。従って、
。
K の２元 
について、
となる 
が存在するとき、
と書く。このとき、
について、
。
。
、
を原始多項式、
p は素元、とする。
のうち、p で割れない最小の i を 
とする。また、
のうち、p で割れない最小の j を 
とする。すると、
、
で、
、
は原始多項式と書く。すると、
で、
は、
より、原始多項式だから、
。
が 
の元として既約ならば、
の元として既約であることは明らか。
において、
、
とする。ここで、
、
、
は原始多項式とすると、
、
より、
。従って、
又は、
。従って、
においても既約である。
である事に注意すると、かつ上の 
が素元であることは明か。
逆に 
を素元とする。f = gh とすると、g, h のいずれかは、
の元だから、
又は、同じことだが 
ならば、f は、R の素元である。
ならば、f は既約で、かつ 
より 
となり f は原始多項式。従って、この場合は、
が成立する。
定理 
の証明
だから、n = 1 の場合、すなわち、R が一意分解整域の時、
が一意分解整域であることを示せばよい。
が素元分解可能であることを 
に関する帰納法で示す。
の時は、R が一意分解整域であるから、補題 
に注意すれば 
の素元に分解できることが分かる。
かつ可約の時は、f = gh、
と表すと、
、
だから、帰納法の仮定により、g、h ともに素元分解できる。従って、f も素元分解できる。そこで既約とする。すると、
、
は原始多項式と書くと、
は既約でもあるから、補題 
により素元、後は、
に R における素元分解を適用すれば 
における素元分解が得られる。
一意性：
を f の素元分解とし、
、
は次数が 1 以上の既約原始多項式とする。すると、
、
は 補題 により、ともに原始多項式だから、
を得、ある 
によって、
と書けるから、R が一意分解整域であることより、この部分の一意性は得られる。一方、
は、体上の多項式環だからユークリッド整域、とくに一意分解整域で 
に一意性を適用すると、適当に順番を入れ替えると、
、
と書くことが出来る。
だから 
を得、
が原始多項式であることより、
を得る。従って、分解は一意的である。
